Da Euclide alla vastità del cosmo passando per $\Lambda$

Nella prima parte abbiamo visto come una disciplina scientifica, la geometria, che era nata per misurare la terra intesa come territorio, sia anche il più potente strumento in grado di descrivere l’Universo. Menti brillanti come Eratostene di Cirene e Aristarco di Samo, Pitagora ed Euclide e poi Hilbert, Lorentz e Riemann, solo per citare alcuni che ora mi vengono in mente per primi, ci hanno donato gli strumenti migliori per sondare i segreti del cosmo. Ma come tutti gli attrezzi, occorre perizia nell’usarli, e questo è compito dell’intelletto umano, senza il quale, tali strumenti sarebbero inutili.

Adattato e corretto da: Il Poliedrico

Non è affatto facile comprendere le scale cosmiche. Lo scorso esempio dell’isola sperduta ne è un perfetto esempio. Le dimensioni della Terra sono enormi rispetto alla scala umana, mentre quelle del Sistema solare sono quasi al limite della comprensione. Con i mezzi attuali ci vogliono 9 anni per arrivare nei pressi di Plutone e almeno 8 mesi per andare su Marte, il pianeta più vicino. 
Distanze ancora più grandi come quella che ci separa dalla stella più vicina, Proxima Centauri, sono talmente grandi che vengono misurate con lo spazio percorso dalla luce nell’arco di un anno, affinché diventino comprensibili: più di 4 anni luce per arrivare alla stella più vicina al Sole nella Galassia. A sua volta questa è talmente grande che la luce impiega 100 mila anni per attraversarla per intero, ossia un trilione di chilometri, un 1 seguito da 18 zeri (nel sistema metrico internazionale) di chilometri; un numero che fa vacillare la mente al solo immaginarlo.
Eppure questi numeri  sono ancora poca cosa su scala cosmica: dovessimo confrontare le dimensioni della nostra galassia rispetto alla distanza che ci separa dalla galassia più lontana mai osservata, equivarrebbe a paragonare un centesimo di protone alla distanza che separa il Giappone dal Cile, ovvero l’intero Oceano Pacifico! E, come cercherò di spiegare, l’universo osservabile è comunque ancora piccolo rispetto all’intero Universo. Stabilire quanto lo sia non è facile, tutto dipende dalla geometria dello spazio stesso che a sua volta è influenzata dalla quantità di materia/energia scaturita dal Big Bang che è in esso contenuta.

Geometria non euclidea

La volta scorsa accennai alla somma degli angoli di un triangolo quale misura della forma dell’universo conosciuto, in quel caso l’isola sperduta nell’oceano. Per quanto grandi potessero essere tracciati, in una porzione relativamente piccola di spazio sferico la loro somma non si discosta dai canonici 180° (1π) previsti dalla geometria euclidea. Immaginiamo ora però due navi che vanno verso l’equatore partendo dallo stesso polo ma seguendo meridiani diversi. Entrambe incontreranno l’equatore da una direzione che è perpendicolare ad esso. La somma degli angoli di questo triangolo immaginario non sono i noti 180° ma ben di più. 
La figura animata (passateci il mouse sopra) a fianco illustra ancora meglio il concetto.
Il medesimo discorso vale anche per uno spazio iperbolico ma a condizioni invertite: in questo caso, la somma degli angoli di un triangolo significativamente grande  disegnato su una superficie iperbolica è inferiore ai 180°.  
Tutto questo preambolo ci suggerisce quale sia il percorso da seguire per comprendere la geometria e farsi magari anche una idea delle reali dimensioni dell’Universo, come vedremo più avanti.

La topologia dell’Universo

La geometria locale dell’universo è determinata dalla sua densità. media come indicato nell’articolo. Dall’alto in basso: un universo è sferico se il rapporto di densità media supera il valore critico 1 (Ω> 1, ); in questo caso la curvatura è positiva (κ >0) e si ha il suo successivo collasso (Big Crunch); un universo iperbolico nel caso di un rapporto di densità media inferiore a 1 (Ω <1) e curvatura negativa (< 0) quindi destinato all’espansione perpetua (Big Rip); e un universo piatto possiede esattamente il rapporto di densità critico (Ω = 1, κ=0). L’universo, a differenza dei diagrammi, è tridimensionale.

Come insegna la Relatività Generale, la geometria dell’Universo è condizionata da quanta materia/energia ($\rho$) emerse col Big Bang [1]. Perché si abbia un universo euclideo, cioè piatto, occorre che col Big Bang si sia prodotta una certa quantità di materia/energia e che quindi questo abbia una certa densità critica ($\rho_{c}$), Una densità più elevata di questa spingerebbe l’universo verso un nuovo collasso, il Big Crunch, mentre al contrario, se fosse poca, l’espansione avverrà per sempre fino alla sua disgregazione ultima.
Il rapporto tra queste due grandezze dice di quanto si discosta l’Universo reale da quello ideale: $$\Omega\ =\ \frac{\rho}{\rho_{c}}$$
Come ho dimostrato nell’altro articolo è possibile calcolare la densità critica per il nostro Universo $\rho_c$ direttamente dalla Costante di Hubble $H_0$.
$\rho_c$ ci indica quanta materia ed energia dovrebbero esserci nell’Universo affinché questo sia euclideo. Ma tralasciando per un attimo l’apporto della densità energetica associata all’energia del vuoto $\Lambda$ (l’energia oscura),  vien fuori che nell’Universo ci sono troppo poche materia ed energia, per comodità di linguaggio indicate come materia (materia ordinaria e materia oscura) e materia relativistica (i neutrini e i fotoni) [2].

$$\frac{\rho}{\rho_c}\ =\ \Omega\ =\ \Omega_{m}\ +\  \Omega_{rel}\ +\ \Omega_{\Lambda}$$

• $\Omega_{m}$ è tutta la massa ordinaria insieme alla materia oscura $\left(\frac{\rho_{m}}{\rho_{{m}_{crit}}}\right)$
• $\Omega_{rel}$ indica i quanti di energia (fotoni) e i neutrini $\left(\frac{\rho_{rel}}{\rho_{{rel}_{crit}}}\right)$
•  $\Omega_{\Lambda}$ rappresenta il rapporto di densità dell’energia  del vuoto $\left(\frac{\rho_{\Lambda}}{\rho_{{\Lambda}_{crit}}}\right)$

I dati forniti dal satellite ESA Planck indicano che le quantità di materia, ordinaria e oscura, e l’energia sono troppo poche — circa il 30% — del valore necessario a produrre un universo euclideo; eppure gli stessi dati indicano che l’interno del nostro orizzonte, fin dove cioè è per noi possibile vedere, 13.8 miliardi di anni luce, l’Universo appare euclideo, piatto.
Dovremmo aspettarci un Universo aperto, ma invece non lo è, esattamente come la superficie del mare che circonda la nostra isola nel vasto oceano ci appare piatta.
In conclusione il nostro orizzonte è soltanto una minuscola porzione di un universo molto più vasto che metricamente si espande per effetto del restante 70%, $\Omega_{\Lambda}$, la densità energetica del vuoto che alimenta la sua espansione e che lo fa apparire sostanzialmente piatto nella nostra scala.

La scala dell’Universo

Quando si tenta di dare una scala all’Universo spesso ci si dimentica che, essendo la velocità della luce finita e assoluta, quando si scrutano gli oggetti lontani si vedono come erano al tempo della luce da loro emessa o riflessa. Per esempio, quando si osserva Marte, lo si vede non come è ora ma come era quasi cinque minuti fa.  E se idealmente dovessimo sparare con una pistola contro di esso, prendere accuratamente la mira non servirebbe, perché nel tempo che impiegherebbe il proiettile a raggiungerlo, il pianeta si è spostato lungo la sua orbita.
La stessa cosa avviene per tutto il resto: M31, la galassia di Andromeda, che è anche l’unica che ci viene incontro, la vediamo come era 2,5 milioni di anni fa, quando ancora dell’uomo non c’era ancora traccia, ma intanto questa nel frattempo si è avvicinata a noi di quasi 9 milioni di miliardi di chilometri, un numero che è ancora comunque un’inezia su scala cosmica.

Rappresentazione artista del’aspetto reale dell’orizzonte visibile dell’Universo. Esso è solo una minuscola frazione di un intero molto più grande. Credit: Pablo Carlos Budassi

Quando noi guardiamo nei recessi dell’Universo visibile vediamo galassie a noi lontanissime nello spazio ma anche nel tempo. Osservare la galassia più lontana significa vederla anche com’era 13 miliardi di anni fa e in tutto questo tempo le dimensioni dell’Universo sono cambiate. 
Un altro aspetto da non sottovalutare è che l’espansione metrica dell’Universo sta anche accelerando. Questo significa che per un calcolo più accurato occorre tenere d’occhio anche questo aspetto, e non solo. Durante la sua esistenza, l’Universo ha attraversato epoche in cui l’energia, la materia oscura e poi la materia barionica hanno dominato sulle altre, e i loro effetti sull’espansione dell’Universo sono stati diversi [3].
A questo punto diventa chiaro che non è possibile fare riferimento alle normali coordinate spaziotemporali come siamo abituati a fare normalmente, ma occorre pensare a sistemi che siano invarianti in un certo istante di tempo cosmologico. A parole sembra difficile ma in pratica è semplicemente un modo per descrivere come potrebbe apparire l’universo in un istante particolare, come scattare una foto istantanea della scena. Questo è il concetto che è alla base delle coordinate comoventi, un sistema di coordinate dove l’espansione metrica dello spazio e lo scorrere del tempo sono ininfluenti ¹.
Non sto a ripetere tutti i lunghi passaggi matematici necessari a calcolare le dimensioni attuali dell’Universo. Esempi di questi calcoli sono qui riportati in fondo all’articolo [4] [5] [6] [7]. Chi è seriamente interessato a questo studio, qui trova molto materiale interessante.

Conclusioni

In conclusione noi possiamo vedere soltanto una minuscola parte di un universo molto più grande.
Per effetto dell’espansione metrica dello spazio, al momento in cui scrivo l’orizzonte a noi visibile, chiamato anche raggio o spazio di Hubble ² che è di 13.8 miliardi di anni luce, ma le più lontane galassie che ancora osserviamo sono già a 46 miliardi di anni luce di distanza da noi ( orizzonte cosmologico attuale espresso come distanza comovente) e la loro luce che ora, nel tempo a noi attuale che potremmo chiamare anche momento cosmologico, emettono non ci raggiungerà mai. 
Il grado di confidenza con cui vengono misurati gli angoli all’interno del nostro orizzonte cosmologico ci permettono di stimare l’ampiezza della curvatura ($\Omega_{\kappa}$) dell’Universo: per le rilevazioni del satellite Planck [2] $\Omega_{\kappa}$ vale tra -0.001 e -0,0005: come dicevo, un valore molto piccolo, praticamente impercettibile anche per la nostra scala cosmologica.
Basandoci però su questi dati vien fuori che il raggio dell’intero nostro Universo potrebbe essere almeno 88 volte ancora più grande della lunghezza di Hubble, 1214 miliardi di anni luce. Altre stime spingono fino a 230 e a 400 volte il raggio visibile, solo futuri dati ancora più precisi potranno dirci quanto e quali di queste si avvicinano al vero.

Euclide, Pitagora, Riemann e tantissimi altri grandi pensatori e scienziati ci hanno donato la capacità di poter dare forma e dimensioni, entro un certo grado di libertà ovviamente, a ciò che non possiamo vedere, esattamente come Eratostene di Cirene poté dare forma e dimensioni alla Terra senza poterla mai né vedere o misurare direttamente. Questa è la più grande conquista che il genere umano potrà mai ottenere: la capacità di pensare.

Note:

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Riferimenti:

1. . Umberto Genovese, "Zenone, Olbers e l’energia oscura (seconda parte)", Il Poliedrico, 2017. https://ilpoliedrico.com/2016/06/zenone-olbers-lenergia-oscura-seconda-parte.html
2. . Planck Collaboration, P.A.R. Ade, N. Aghanim, C. Armitage-Caplan, M. Arnaud, M. Ashdown, F. Atrio-Barandela, J. Aumont, C. Baccigalupi, A.J. Banday, R.B. Barreiro, J.G. Bartlett, E. Battaner, K. Benabed, A. Benoît, A. Benoit-Lévy, J.-. Bernard, M. Bersanelli, P. Bielewicz, J. Bobin, J.J. Bock, A. Bonaldi, J.R. Bond, J. Borrill, F.R. Bouchet, M. Bridges, M. Bucher, C. Burigana, R.C. Butler, E. Calabrese, B. Cappellini, J.-. Cardoso, A. Catalano, A. Challinor, A. Chamballu, R.-. Chary, X. Chen, H.C. Chiang, L.-. Chiang, P.R. Christensen, S. Church, D.L. Clements, S. Colombi, L.P.L. Colombo, F. Couchot, A. Coulais, B.P. Crill, A. Curto, F. Cuttaia, L. Danese, R.D. Davies, R.J. Davis, P. de Bernardis, A. de Rosa, G. de Zotti, J. Delabrouille, J.-. Delouis, F.-. Désert, C. Dickinson, J.M. Diego, K. Dolag, H. Dole, S. Donzelli, O. Doré, M. Douspis, J. Dunkley, X. Dupac, G. Efstathiou, F. Elsner, T.A. Enßlin, H.K. Eriksen, F. Finelli, O. Forni, M. Frailis, A.A. Fraisse, E. Franceschi, T.C. Gaier, S. Galeotta, S. Galli, K. Ganga, M. Giard, G. Giardino, Y. Giraud-Héraud, E. Gjerløw, J. González-Nuevo, K.M. Górski, S. Gratton, A. Gregorio, A. Gruppuso, J.E. Gudmundsson, J. Haissinski, J. Hamann, F.K. Hansen, D. Hanson, D. Harrison, S. Henrot-Versillé, C. Hernández-Monteagudo, D. Herranz, S.R. Hildebrandt, E. Hivon, M. Hobson, W.A. Holmes, A. Hornstrup, Z. Hou, W. Hovest, K.M. Huffenberger, A.H. Jaffe, T.R. Jaffe, J. Jewell, W.C. Jones, M. Juvela, E. Keihänen, R. Keskitalo, T.S. Kisner, R. Kneissl, J. Knoche, L. Knox, M. Kunz, H. Kurki-Suonio, G. Lagache, A. Lähteenmäki, J.-. Lamarre, A. Lasenby, M. Lattanzi, R.J. Laureijs, C.R. Lawrence, S. Leach, J.P. Leahy, R. Leonardi, J. León-Tavares, J. Lesgourgues, A. Lewis, M. Liguori, P.B. Lilje, M. Linden-Vørnle, M. López-Caniego, P.M. Lubin, J.F. Macías-Pérez, B. Maffei, D. Maino, N. Mandolesi, M. Maris, D.J. Marshall, P.G. Martin, E. Martínez-González, S. Masi, M. Massardi, S. Matarrese, F. Matthai, P. Mazzotta, P.R. Meinhold, A. Melchiorri, J.-. Melin, L. Mendes, E. Menegoni, A. Mennella, M. Migliaccio, M. Millea, S. Mitra, M.-. Miville-Deschênes, A. Moneti, L. Montier, G. Morgante, D. Mortlock, A. Moss, D. Munshi, J.A. Murphy, P. Naselsky, F. Nati, P. Natoli, C.B. Netterfield, H.U. Nørgaard-Nielsen, F. Noviello, D. Novikov, I. Novikov, I.J. O'Dwyer, S. Osborne, C.A. Oxborrow, F. Paci, L. Pagano, F. Pajot, D. Paoletti, B. Partridge, F. Pasian, G. Patanchon, D. Pearson, T.J. Pearson, H.V. Peiris, O. Perdereau, L. Perotto, F. Perrotta, V. Pettorino, F. Piacentini, M. Piat, E. Pierpaoli, D. Pietrobon, S. Plaszczynski, P. Platania, E. Pointecouteau, G. Polenta, N. Ponthieu, L. Popa, T. Poutanen, G.W. Pratt, G. Prézeau, S. Prunet, J.-. Puget, J.P. Rachen, W.T. Reach, R. Rebolo, M. Reinecke, M. Remazeilles, C. Renault, S. Ricciardi, T. Riller, I. Ristorcelli, G. Rocha, C. Rosset, G. Roudier, M. Rowan-Robinson, J.A. Rubiño-Martín, B. Rusholme, M. Sandri, D. Santos, M. Savelainen, G. Savini, D. Scott, M.D. Seiffert, E.P.S. Shellard, L.D. Spencer, J.-. Starck, V. Stolyarov, R. Stompor, R. Sudiwala, R. Sunyaev, F. Sureau, D. Sutton, A.-. Suur-Uski, J.-. Sygnet, J.A. Tauber, D. Tavagnacco, L. Terenzi, L. Toffolatti, M. Tomasi, M. Tristram, M. Tucci, J. Tuovinen, M. Türler, G. Umana, L. Valenziano, J. Valiviita, B. Van Tent, P. Vielva, F. Villa, N. Vittorio, L.A. Wade, B.D. Wandelt, I.K. Wehus, M. White, S.D.M. White, A. Wilkinson, D. Yvon, A. Zacchei, and A. Zonca, "Planck 2013 results. XVI. Cosmological parameters", arXiv, 2013. http://arxiv.org/abs/1303.5076
3. J. Frieman, M. Turner, and D. Huterer, "Dark Energy and the Accelerating Universe", arXiv, 2008. http://arxiv.org/abs/0803.0982
4. S.A. Mabkhout, "The hyperbolic geometry of the universe and the wedding of general relativity theory to quantum theory", Physics Essays, vol. 25, pp. 112-118, 2012. http://dx.doi.org/10.4006/0836-1398-25.1.112
5. . Vari, "Solutions of Friedmann Equations", nicadd.niu.edu, 1971. https://ilpoliedrico.com/wp-content/uploads/2017/06/Solution-Friedmann-equations.pdf
6. E. Komatsu, K.M. Smith, J. Dunkley, C.L. Bennett, B. Gold, G. Hinshaw, N. Jarosik, D. Larson, M.R. Nolta, L. Page, D.N. Spergel, M. Halpern, R.S. Hill, A. Kogut, M. Limon, S.S. Meyer, N. Odegard, G.S. Tucker, J.L. Weiland, E. Wollack, and E.L. Wright, "SEVEN-YEARWILKINSON MICROWAVE ANISOTROPY PROBE(WMAP) OBSERVATIONS: COSMOLOGICAL INTERPRETATION", The Astrophysical Journal Supplement Series, vol. 192, pp. 18, 2011. http://dx.doi.org/10.1088/0067-0049/192/2/18
7. D.W. Hogg, "Distance measures in cosmology", arXiv, 1999. http://arxiv.org/abs/astro-ph/9905116