Eratostene e la vastità del cosmo

Tra le cose più straordinarie e difficili da spiegare sono le dimensioni reali dell’Universo. In effetti la stima reale è molto difficile ma non impossibile. E non è quello che comunemente si è portati a credere. Anche stavolta partiamo da lontano, dall’inizio.

Credit: Il Poliedrico

Immaginate di essere nati e cresciuti su un’isola sperduta. Dal punto più in alto di quest’isola vedreste solo mare in tutte le direzioni, fino all’orizzonte; anche da lassù non notereste la curvatura del pianeta e, per quanto vi sforziate a disegnare triangoli sempre più grandi, la somma dei loro angoli continuerebbe a restituirvi 180 gradi (questo è fondamentale per la continuazione del discorso). Potreste facilmente arrivare alla conclusione che il mondo sia tutto lì e piatto, e in effetti tutto l’universo osservabile per voi sarebbe quello.
In effetti l’idea della Terra Piatta, che oggi ci fa sorridere, ebbe origine proprio così, la mancanza di osservazioni dirette della sfericità del globo all’inizio fece credere proprio questo: anche se un osservatore fosse salito sul monte più alto non avrebbe avuto modo di capire che la Terra è così vasta rispetto alla scala umana che è impossibile percepire ad occhio la sua curvatura.

Ma nel II secolo avanti Cristo tutto cambiò. L’espansione della cultura greca era all’apice e così anche la sua scienza. Eratostene di Cirene, astronomo e filosofo vissuto proprio in quel periodo, fece un paio di importanti osservazioni.

Gli astri sono sfere

Eclissi di Luna del 15 giugno 2011.La Luna sta oltrepassando l’ombra della Terra ed è evidente la rotondità della penombra.Una Terra piatta non avrebbe potuto generare una simile ombra.
Image credit: Umberto Genovese.

Durante le eclissi di Luna l’ombra proiettata dalla Terra sulla Luna è rotonda; la Luna stessa e il Sole lo appaiono. Anche le sfere da qualsiasi angolo si guardino sembrano dei circoli perfetti. Quindi anche la Luna, e il Sole e per estensione la Terra devono esserlo, altrimenti questi astri dovrebbero apparire ovoidali per la maggior parte dell’anno.
Questa importante osservazione potrebbe essere già stata fatta anche in precedenza da altri osservatori, ma è la chiave per capire meglio il pensiero dello scienziato.
Eratostene sapeva che la Terra è una sfera.

Il pozzo e l’obelisco

Al solstizio d’estate la luce del Sole nella città di Syene, l’odierna Assuan, non proietta ombre: la luce solare raggiunge direttamente il fondo dei pozzi e delle cisterne; non è così invece ad Alessandria d’Egitto, circa 800 chilometri più a nord.
La realtà è però appena un po’ più complessa; Assuan non è proprio sul Tropico del Cancro e Alessandria d’Egitto non è esattamente sullo suo stesso meridiano, ma in fin dei conti l’importante è la validità del ragionamento di Eratostene.

Partendo dal rapporto che esiste tra l’ombra proiettata dagli edifici e la loro altezza è possibile ricavare l’angolo di incidenza della luce del Sole. Misurando quest’angolo nel giorno del solstizio ad Alessandria e considerando perpendicolare il Sole ad Assuan il medesimo giorno, Eratostene elaborò la sua idea. Poi, basandosi sui rapporti dei mensores regii — i cartografi reali che ogni anno stilavano le mappe nei regni ellenistici per fini fiscali — provò a stimare le dimensioni del Globo.
Il concetto è abbondantemente spiegato dalla figura qui sopra: l’angolo incidente prodotta dall’ombra è uguale all’angolo del settore circolare avente origine dal centro della sfera, in questo caso la Terra. Essendo l’angolo una parte dell’intero, 360°, allora la stessa distanza tra le due città moltiplicata per il rapporto precedente restituisce le dimensioni del pianeta.
Eratostene stimò che l’ombra proiettata generasse un’angolo grande un cinquantesimo di angolo giro, 7,2° ¹ e che la distanza tra le due città fosse di 5000 stadi egizi. In conclusione stimò che la Terra avesse 250 000 stadi di circonferenza, ossia 39 375 chilometri; soltanto 700 chilometri in meno di quanto fosse in realtà ², 40 075 km.

La scala cosmica

Stimando la circonferenza della Terra, Eratostene di conseguenza ne calcolò ovviamente anche il raggio. Questo spinse l’astronomo ellenista anche a cimentarsi nel misurare le dimensioni della Luna e della sua orbita. 

Nel 270 a.C. un altro astronomo greco, Aristarco di Samo, aveva provato a misurare l’orbita lunare stabilendo che in una eclissi la Luna impiegasse circa 3 ore per attraversare il cono d’ombra della Terra. Ipotizzando che l’ombra terrestre fosse uguale per dimensioni alla Terra e infinita nella sua proiezione, il prodotto in ore fra un’orbita completa e il transito nella zona d’ombra indica la distanza, in diametri terrestri, tra la Terra e la Luna: $$\frac{30 \times 24}{3} \ = \ 720 \ / \ 3 \ = \ 240$$
Da questo calcolo Aristarco stabilì che l’orbita lunare (all’epoca si parlava di sfere celesti) avesse una circonferenza pari a 240 volte il diametro terrestre.In realtà la lunghezza dell’orbita lunare è di 2 413 402 km, mentre il diametro terrestre è di 12 742 km. Un rapido calcolo ci indica che in realtà son solo 189.4 volte il diametro della Terra. Aristarco peccò mettendo la sfera della Luna 8 diametri terrestri più in là del dovuto.
Oggi sappiamo che la durata di ogni eclissi varia dalla posizione orbitale in cui la Luna intercetta l’ombra della Terra — che non è affatto un cilindro ma un cono — e che quasi sicuramente l’astronomo greco confuse il mese sinodico (il tempo che impiega la Luna a raggiungere la stessa posizione rispetto al Sole, ad esempio due noviluni, circa 29,53  giorni) col mese siderale (il tempo che la Luna impiega per percorrere un’orbita completa attorno alla Terra, circa 27,32 giorni); a questo uniamoci che ancora non esistevano mezzi efficaci per misurare il tempo ed ecco spiegato perché il metodo di Aristarco, corretto nel ragionamento, dette risultati che oggi sappiamo errati.

Questa volta però Eratostene usò una stima assai grossolana del disco lunare, derivata forse da una mala interpretazione dei precedenti calcoli di Aristarco. Assunse che il disco lunare fosse grande 2 gradi, quando in realtà questo è molto più piccolo, circa 32 primi d’arco, falsando così di quasi quattro volte tutta l’operazione di calcolo. Questo lo spinse a credere che l’orbita lunare fosse solo 180 volte il diametro del satellite. Al pari di Aristarco anche Eratostene immaginò che l’ombra della Terra fosse un cilindro i cui vertici superiori sono rivolti verso l’infinito, e stimò dal transito umbrale durante una eclissi che questa fosse tre volte più grande della Luna. Comunque in sintesi questi furono i risultati di Eratostene:

Se egli avesse invece usato la dimensione angolare corretta si sarebbe avvicinato molto di più al dato reale: 2 861 804.82 chilometri per un raggio orbitale di 455 470 km, solo 70 mila chilometri di scarto contro i 100 mila del metodo di Aristarco. Questo significa che anche errare un dato, anche il più banale come in questo caso, spesso può vanificare il più buono dei propositi ³.

Questi sono solo un paio di esempi di come l’uomo avesse da sempre cercato di dare una misura  al mondo che lo circonda per poi cercare di carpirne i segreti. I due scienziati ellenici non avevano orologi atomici, laser e riflettori sulla Luna, neppure il cannocchiale di Galileo o compreso l’isocronismo dei pendoli. Eppure usando lo spirito di osservazione e l’intelletto cercarono, e quasi ci riuscirono, a misurare la Terra e quanto fosse distante la Luna.
Piccoli passi che però ci avvicinano alla prossima domanda: ma quanto è grande l’Universo?  

Note: