Il principio olografico dei buchi neri – La termodinamica

Può suonare strano a dirsi, ma tutta l’energia che vediamo e che muove l’Universo, dalla rotazione delle galassie ai quasar, dalle stelle alle cellule di tutti gli esseri viventi e perfino quella immagazzinata nelle pile del vostro gadget elettronico preferito è nato col Big Bang. È solo questione di diluizioni, concentrazioni e trasformazioni di energia. Sì, trasformazioni; l’energia può essere trasformata da una forma all’altra con estrema facilità. La scienza che studia tali trasformazioni è la termodinamica. Per trasformarsi l’energia ha bisogno di differenza di potenziale, ossia una maggior concentrazione contrapposta a una minore concentrazione nella stessa forma. L’entropia non è altro che la misura della capacità che ha l’energia di decadere compiendo un lavoro fino a raggiungere di uno stato di equilibrio.

Entropia statistica

Entropia minima

Entropia massima

L’entropia statistica si fonda sulle probabilità delle posizioni delle molecole in uno spazio chiuso. Il II Principio della Termodinamica deriva dal fatto che le configurazioni ad alta entropia sono più probabili di quelle a bassa entropia.
L’esempio dei vasi comunicanti è un classico. Quando fra i due contenitori viene rimosso il tappo (blu), le molecole di un gas (rosse) saranno libere e si distribuiranno uniformemente in entrambi i contenitori compiendo un lavoro (il transito).
Quando la distribuzione sarà uniforme non potrà più esserci lavoro (equilibrio).

Nella termodinamica l’entropia è la misura delle capacità di un sistema fisico in grado di essere sede di trasformazioni spontanee. In altre parole essa indica la perdita di capacità a compiere un lavoro quando tali trasformazioni avvengono. Il valore dell’entropia cresce quando il sistema considerato man mano perde la capacità di compiere lavoro ed è massimo quando tutto il sistema è in condizioni di equilibrio.
La meccanica statistica ha poi reso lo stesso concetto, originariamente legato agli stati di non equilibrio di un sistema fisico chiuso, ancora più generale, associandolo anche alle probabilità degli stati — microstati 1 — in cui può trovarsi lo stesso sistema; da qui in poi si parla di grado di disordine di un sistema quale misura di indeterminazione, degrado o disordine di questo. Il classico esempio dei vasi comunicanti aiuta senz’altro a capire questo poi banale concetto. Ne potete vedere un esempio illustrato qui accanto.
Il legame fra l’entropia statistica e la teoria dell’informazione lo si deve a  Claude Shannon (il padre del termine bit e dell’uso della matematica binaria nei calcolatori) intorno agli anni quaranta del ‘900. Shannon notò che non c’era differenza tra il calcolo del livello di imprevedibilità di una sorgente di informazione e il calcolo dell’entropia di un sistema termodinamico.
Per esempio, una sequenza come ‘sssss‘ possiede uno stato altamente ordinato, di bassa entropia termodinamica. Una sequenza come ‘sasso‘ ha un grado di complessità superiore e e trasporta più informazioni ma ha anche un po’ di entropia in più, mentre ‘slurp‘ dimostra un ancora più alto grado di complessità, di informazione e di entropia perché contiene tutte lettere diseguali; noi le diamo un significato, è vero, ma se dovessimo basarci solo sulla frequenza con cui appaiono le singole lettere in una parola composta da cinque di esse, questa possiede la stessa entropia di “srplu“, che per noi non ha senso e diremmo che essa è una parola disordinata o degradata.
Nell’informazione l’entropia definisce la quantità minima delle componenti fondamentali (bit) necessarie a descriverla, esattamente come i gradi di libertà descrivono lo stato di un sistema fisico. In altre parole essa indica la misura del grado di complessità di una informazione: una singola nota, un suono monotonale, possiede pochissima informazione, mentre la IX Sinfonia di Beethoven ne contiene molta di più. Però attenzione: il suono ricavato da mille radioline sintonizzate ognuna su una diversa stazione è sostanzialmente inintelligibile ma nel suo complesso contiene molta più informazione di quanta ne abbia mai scritta il celebre compositore in tutta la sua vita. Per poter ascoltare la IX Sinfonia trasmessa da una sola radio dovremmo spegnere tutti gli altri ricevitori o alzare il volume di quella radiolina fino a sovrastare il rumore proveniente dalle altre, ossia compiere un lavoro o iniettare energia dall’esterno.

La termodinamica dei buchi neri


Le tre leggi della termodinamica dei buchi neri

Come per la termodinamica classica anche quella dei buchi neri ha le sue leggi non meno importanti. L’analogia tra i due insiemi di assiomi indica anche la strada da seguire per comprendere il bizzarro fenomeno.
Legge zero della  termodinamica dei buchi neri
Per  un buco nero stazionario la gravità all’orizzonte degli eventi è costante.
Questo sembra un concetto banale ma non lo è. Per qualsiasi corpo in rotazione su un asse anche se di forma perfettamente sferica la gravità non è costante alla sua superficie: ce ne sarà un po’ di più ai poli e un po’ meno al suo equatore. Questo principio ricorda che l’orizzonte degli eventi invece è un limite matematico dettato esclusivamente dall’equilibrio tra la gravità e la velocità della luce.
Prima legge della  termodinamica dei buchi neri
Nei buchi neri stazionari ogni variazione o apporto di energia comporta una modifica della sua area: $$d M={\frac{\kappa}{8\pi}}\,d A_{OE}\,+\,\Omega d J\,+\,\Phi d Q\,$$
I buchi neri sono descritti da solo tre parametri: la massa \(M\) , la carica elettrica \(Q\) e momento angolare \(J\) . Come nell’esempio nell’articolo è quindi possibile calcolare quanto varia l’area di un buco nero in cui una quantità di materia/energia diversa da zero cade oltre l’orizzonte degli eventi.
Tralasciando le note costanti naturali \(G\) e \(c\), \(\kappa\) indica la gravità superficiale all’orizzonte degli eventi, \(A_{OE}\) l’area di questo, mentre \(\Omega\) la velocità angolare, \(J\) il momento angolare, \(\Phi\) il potenziale elettrostatico, \(Q\) la carica elettrica sono propri del buco nero all’orizzonte degli eventi.
Questo complesso schema matematico è molto simile alla descrizione del Primo Principio Termodinamico dove si scopre che il differenziale energetico \(E\) è correlato alla temperatura \(T\), all’entropia \(S\) e alla capacità di svolgere un lavoro \(W\) in un sistema chiuso: $$dE=TdS\,+\,dW$$
Seconda legge della  termodinamica dei buchi neri
La somma dell’entropia ordinaria esterna al buco nero con l’entropia totale di un buco nero aumenta nel tempo come conseguenza delle trasformazioni generiche di questo: $$\Delta S_{o}\,+\,\Delta S_{BN}\,\geq\,0$$
Il Secondo Principio Termodinamico richiede che l’entropia di un sistema chiuso debba sempre aumentare come conseguenza di trasformazioni generiche. Se un sistema ordinario cade in un buco nero, la sua’entropia \(S_{o}\) diventa invisibile ad un osservatore esterno ma con questa interpretazione si esige che l’aumento dell’entropia del buco nero \(S_{BN}\) compensi la scomparsa di entropia ordinaria dal resto dell’universo. Con la scoperta della radiazione di Hawking è anche evidente il decremento della massa di un buco nero che essa comporta. Di conseguenza ci si dovrebbe aspettare che anche l’entropia connessa alla sua area diminuisca. Con questa interpretazione (Bekenstein, 1973) si tiene conto anche del fenomeno di evaporazione.
Terza legge della  termodinamica dei buchi neri
È impossibile annullare la gravità dell’orizzonte degli eventi con qualsiasi processo fisico.
Il Terzo Principio Termodinamico afferma che è fisicamente impossibile raggiungere una temperatura nulla tramite qualsiasi processo fisico.
Applicato ai buchi neri questa legge mostra come sia impossibile raggiungere una gravità nulla all’orizzonte degli eventi di un buco nero. In linea di principio aumentando la carica elettrica di un buco nero, sarebbe possibile cancellare l’orizzonte degli eventi e mostrare così finalmente la singolarità nuda. Tuttavia, l’energia che dovremmo iniettare nel buco nero sotto forma di particelle cariche sarebbe sempre più grande tanto più ci si avvicinasse al risultato senza mai poterlo raggiungere.

Un buco nero è causato dal collasso della materia o, per l’equivalenza tra materia ed energia, dalla radiazione, entrambi i quali possiedono un certo grado di entropia. Tuttavia, l’interno del buco nero e il suo contenuto non sono visibili ad un osservatore esterno. Questo significa che non è possibile misurare l’entropia dell’interno del buco nero.
Nell’articolo precedente [1] ho detto che un buco nero stazionario è parametrizzato unicamente dalla sua massa, carica elettrica e momento angolare. Secondo il No Hair Theorem tutto ciò che scompare oltre l’orizzonte degli eventi viene totalmente sottratto all’universo. Quello che potremmo percepire di un buco nero sono la sua massa, carica elettrica e momento angolare; pertanto le medesime proprietà possedute da un oggetto inghiottito da un buco nero verrebbero a sommarsi con le precedenti, contribuendo così alla loro espressione complessiva. In soldoni — trascurando per un attimo la sua carica elettrica e il momento angolare — un oggetto di massa \(m\) andrebbe a sommarsi a \(M_{BN}\) del buco nero, cosi che \(M_{BN}’\) finirebbe per essere \(m+M_{BN}\) facendo crescere anche la dimensione dell’orizzonte degli eventi.
Ma secondo questa interpretazione, null’altro rimarrebbe dell’oggetto finito oltre l’orizzonte degli eventi, la sua entropia andrebbe perduta per sempre. Questa interpretazione — come fece notare per primo Bekenstein — cozza però col Secondo Principio della Termodinamica che afferma che il grado di disordine – entropia – di un sistema chiuso — l’Universo è un sistema chiuso — può solo aumentare. Quindi qualsiasi cosa, materia o energia, che finisse oltre l’orizzonte degli eventi di un buco nero finirebbe per sottrarre entropia all’universo, e questo è inaccettabile.
L’unico modo per non contraddire questa legge fondamentale 2 è assumere che anche i buchi neri abbiano un’entropia.
Questa come si è visto dipende dalla massa/energia che cade in un buco nero e che va a sommarsi alla precedente, e, visto che per l’interpretazione classica niente può uscire da un buco nero, non può che aumentare col tempo. Ma anche le altre due proprietà, carica elettrica e momento angolare, contribuiscono nella loro misura a descrivere compiutamente un buco nero. Per ogni combinazione di questi tre parametri si possono perciò teorizzare altrettanti stati diversi riguardo ad esso; quello che ne esce è un concetto molto simile all’entropia legata ai possibili microstati della termodinamica statistica. L’entropia, ossia l’informazione di questi microstati, è pertanto distribuita sull’unica parte accessibile all’universo, la superficie dell’area dell’orizzonte degli eventi.
In natura la più piccola unità dimensionale di superficie è l’Area di Planck, quindi è naturale esprimere l’entropia di un buco nero in questa scala. Per descrivere matematicamente l’entropia \(S\) 3  di un buco nero di Schwarzschild partendo dall’area dell’orizzonte degli eventi \(A_{O E}\), allora dovremmo scrivere $$\tag{1}S_{buco nero}={A_{O E}\over 4 L_{P}^2}={c^3 A_{O E}\over 4 G \hbar}$$ dove \(L_{P}\) è la lunghezza di Plank, \(G\) è la Costante di Gravitazione Universale, \(\hbar\) la costante di Plank ridotta e \(c\) ovviamente la velocità della luce, sapendo che la suddetta area è condizionata unicamente dalla massa del buco nero $$\tag{2}A_{O E}=16\pi \frac{G^2M_{BN}^2}{c^4}$$.
Facciamo ad esempio l’ipotesi, che poi servirà in futuro per illustrare il Principio Olografico e che si rifà anche direttamente alla Prima Legge della Termodinamica dei Buchi Neri (vedi box qui accanto), di un fotone avente una lunghezza d’onda \(\lambda\) — la lunghezza d’onda di un fotone è inversamente proporzionale alla sua energia — che cade in un buco nero di massa \(M_{BN}\) e di conseguenza di raggio \(r_{S}\) da una direzione indeterminata.
Avvicinandosi all’orizzonte degli eventi suddetto fotone finirà per decadere fino ad avere una lunghezza d’onda paragonabile alla dimensione del raggio di Schwartzschild: \(\lambda\sim\pi r_{S}\).
L’energia rilasciata dal fotone nel buco nero quindi è $$\tag{3}d E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{2\pi \hbar c}{r_{S}}$$
Per l’equivalenza tra massa ed energia — la stranota \(e=mc^2\) della Relatività Generale — la massa del buco nero finisce per crescere$$\tag{4}d M_{BN}=\frac{d E}{c^2} = \frac{2\pi \hbar}{c r_{S}}$$
Di conseguenza un aumento della massa, per quanto piccola, del buco nero finisce per far aumentare anche le dimensioni dello stesso nella misura $$\tag{5}d r_{S}=\frac{2G}{c^2} d M_{BN}=\frac{4\pi\hbar G}{c^3 r_{S}}$$
e anche l’area: $$\tag{6}d A_{OE}=4\pi d r_{S}^2 = 8\pi r_{S}d r_{S}=32\pi^2\frac{\hbar G}{c^3}$$

Anche se questo genere molto semplificato di buchi neri è solo teorico, permette però di esplorare la complessità del problema e di farsi un’idea delle dimensioni dell’entropia di un buco nero 4.

Note:

  1. Lo stesso concetto di microstato deriva direttamente dalla termodinamica. La possibilità di riscaldare un qualsiasi corpo deriva dai gradi di libertà interni che possiede che gli permettono di immagazzinare e scambiare energia (Boltzmann). Da questa affermazione si può dire che tutto ciò che possiede una microstruttura (gradi di libertà) può immagazzinare e scambiare energia.
  2. Diffidate di coloro che ciarlano di aver inventato macchine del moto perpetuo o che producono energia dal nulla. Il Secondo Principio della Termodinamica dice che non si può! 😛
  3. Qui ho volutamente tralasciato la Costante di Boltzmann  \(k\) presente in questo genere di calcoli supponendo che essa valesse 1 per praticità. Così ottengo anche direttamente il valore per unità di energia.
  4. Un buco nero di Schwarzschild della stessa massa del Sole possiede un entropia di circa venti ordini di grandezza più grande. Per questo non si deve pensare che l’entropia di un buco nero sia la medesima di ciò che lo ha creato o che sia la semplice somma algebrica di quello che è poi finito oltre il suo orizzonte degli eventi.

Riferimenti:

  1. U. Genovese, "Il principio olografico dei buchi neri - L'orizzonte degli eventi - Il Poliedrico", Il Poliedrico, 2017. https://ilpoliedrico.com/2017/03/il-principio-olografico-dei-buchi-neri-lorizzonte-degli-eventi.html

Umberto Genovese

Autodidatta in tutto - o quasi, e curioso di tutto - o quasi. L'astronomia è una delle sue più grandi passioni. Purtroppo una malattia invalidante che lo ha colpito da adulto limita i suoi propositi ma non frena il suo spirito e la sua curiosità. Ha creato il Blog Il Poliedrico nel 2010 e successivamente il Progetto Drake (un polo di aggregazione di informazioni, articoli e link sulla celebre equazione di Frank Drake e proposto al l 4° Congresso IAA (International Academy of Astronautics) “Cercando tracce di vita nell’Universo” (2012, San Marino)) e collabora saltuariamente con varie riviste di astronomia. Definisce sé stesso "Cercatore".

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