Elucubrazioni matematiche

Lungi da me l’idea di scrivere un corso sulla Meccanica Celeste, non credo che sarei neppure un mediocre insegnante, per carità, ma sento il dovere di spiegare come ho raggiunto i risultati illustrati nell’articolo scorso. Qualcuno penserà che un articolo simile è come voler spiegare una barzelletta dopo averla raccontata male, io penso invece che dimostrare il proprio metodo sia la cosa che distingue i ciarlatani dagli uomini di scienza, a cui non modestamente ho da sempre aspirato.

kepler II lawNello sorso articolo ho fatto riferimento alla velocità di un corpo all’interno del Sistema Solare.  Non è difficile quanto sembri calcolare questo dato;  basta applicare un po’ di meccanica celeste e via.

L’equazione da me usata è comune per tutti gli oggetti in movimento nello spazio,  siano essi un satellite in orbita,  un pianeta, una cometa o un asteroide:

    \[ v=\sqrt{ GM \mult \left ( \frac{2}{d}-\frac{1}{a} \right ) } \]

dove G è la Costante di gravitazione Universale,  pari a 6,67428 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2} e M è la massa del corpo principale (in questo caso il Sole, pari a 1,98914 \cdot 10^{30}kg) espressa in chilogrammi, supponendo che la massa dell’oggetto in indagine sia trascurabile rispetto a questa.
d è la distanza del baricentro dell’oggetto in esame dal baricentro del corpo principale che occupa uno dei fuochi dell’orbita ed ovviamente è espressa in metri. a invece è il semiasse maggiore e anch’esso è espresso in metri. Ma spesso questa informazione è espressa in U.A.  per cui basta moltiplicare questo valore per 1, 496 \cdot 10^{11} metri per avere il dato richiesto.

A puro titolo informativo, anche se non è il caso descritto nell’articolo, per i corpi in orbita ellittica 1 è comune usare un parametro indicato con e per identificare l’eccentricità di un’orbita. In un’orbita ellittica questo parametro non è altro che il rapporto tra la distanza di un fuoco dal centro ed il semiasse maggiore dell’orbita. Per cui basta moltiplicare il semiasse maggiore per 1-e per ottenere il periapside (il punto più vicino dell’orbita al fuoco principale),  e per 1+e per l’apoapside (il punto più lontano).

In quell’articolo ho citato anche un altro dato: il Limite di Roche, che indica la distanza che un qualsiasi oggetto celeste può raggiungere prima di essere frantumato dagli effetti di marea causati dal corpo verso cui orbita 2. Questo limite è proporzionale alla radice cubica del rapporto tra la densità del corpo principale \rho_M e la densità del corpo secondario \rho_m moltiplicata per il raggio del corpo principale R_M (in questo caso il Sole, pari a 6,96 \cdot 10^{8}) e un numero fisso approssimato a 2,44 per i corpi solidi e 2,423 per i corpi fluidi. Usando appunto quest’ultimo ho notato che i valori a me restituiti erano coerenti con altre osservazioni precedenti di cui ero a conoscenza.

    \[ d = 2.423\mult R_M  \sqrt[3]{ \frac {\rho_M} {\rho_m}} \]

Anche qui i valori delle distanze e le lunghezze sono espresse in metri  mentre le densità per mia comodità sono espresse in g/cm^{3} ma nulla vieta di usare altre scale come kg/m^{3}.

Con questo credo di aver finito, altre piccole cose le lascio scoprire a voi lettori che avrete la pazienza di ripercorrere il mio lavoro. Chissà potrei aver sbagliato qualcosa e non essermene accorto!


Note:

Note:

  1. L’eccentricità è la misura di quanto un’ellisse devia da un cerchio perfetto.

    • per le orbite circolari e = 0.

    • Per le orbite ellittiche e > 0 e e < 1.

    • Per  le traiettorie paraboliche e = 1.

    • per le traiettorie iperboliche e > 1.

    .

  2. Un oggetto di dimensioni abbastanza piccole da ritenere trascurabili le deformazioni di marea può sostare entro tale limite.

Umberto Genovese

Autodidatta in tutto - o quasi, e curioso di tutto - o quasi. L'astronomia è una delle sue più grandi passioni. Purtroppo una malattia invalidante che lo ha colpito da adulto limita i suoi propositi ma non frena il suo spirito e la sua curiosità. Ha creato il Blog Il Poliedrico nel 2010 e successivamente il Progetto Drake (un polo di aggregazione di informazioni, articoli e link sulla celebre equazione di Frank Drake e proposto al l 4° Congresso IAA (International Academy of Astronautics) “Cercando tracce di vita nell’Universo” (2012, San Marino)) e collabora saltuariamente con varie riviste di astronomia. Definisce sé stesso "Cercatore".

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