Mese: Luglio 2016

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Sistemi stellari multipli e orbite stabili

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Nei giorni scorsi è rimbalzata sui media la scoperta di un sistema planetario in un sistema ternario. La notizia in  sé è eccitante, ma il modo in cui è stata trattata da alcune testate a tiratura nazionale è quasi comico, soprattutto perché le stesse esatte parole sono state copiate pari pari da diversi siti generalisti senza alcun controllo. Io stesso avevo provato a segnalare alcune inesattezze 1 attraverso un commento presso un importante quotidiano nazionale ma questo è stato eliminato mentre altri commenti alquanto sciocchi erano stati accolti dai moderatori. Il quadro che ne esce non è confortante per tanta editoria cartacea italiana ma questo purtroppo l’avevo sospettato da tempo.

Una parte della costellazione australe del Centauro centrata sul sistema triplo HD131399, in dettaglio sulla sinistra.

Una parte della costellazione australe del Centauro centrata sul sistema triplo HD131399, in dettaglio sulla sinistra.

HD131399A b è solo uno degli ultimi sistemi stellari multipli che mostrano di ospitare anche un sistema planetario. Non sono molti quelli conosciuti e confermati perché è molto difficile discernere i moti perturbativi radiali dovuti al sistema planetario da quello dovuto alle altre stelle del sistema o usare il metodo dei transiti.
L’intero sistema HD 131399 infatti non è infatti l’unico del suo genere: 55 Cancri , distante 40,3 anni luce dalla Terra 2, è composto da due stelle di cui la principale è solo di poco più piccola del Sole e la compagna, 55 Cancri B, che è almeno sette volte più piccola della prima e a sua volta sospettata di essere doppia, divise da una distanza di 1065 UA. Ebbene, 55 Cancri A possiede un sistema planetario di ben cinque corpi, di cui il più distante 55 Cancri A d [cite]http://arxiv.org/abs/0712.3917[/cite] è a 5,7 UA dalla stella principale.
Altri sistemi stellari doppi o multipli sono ad esempio Tau Boötis, Upsilon Andromedae, Gamma Cephei (la stella polare del prossimo millennio) e così via.
Comunque, i sistemi stellari multipli (cioè composti da più di due stelle), se disposti gerarchicamente [cite]http://adsabs.harvard.edu/abs/1968QJRAS…9..388E[/cite], sono noti per essere stabili; in questi casi le orbite sono divise in coppie vicine che ruotano attorno a un baricentro reciproco che a loro volta orbitano attorno al baricentro comune dell’intero sistema che può essere composto da una stella più massiccia o un’altra coppia di stelle. In fondo questo lo vediamo anche nel Sistema Solare che dinamicamente non è poi così dissimile da un qualsiasi sistema multiplo: i diversi satelliti orbitano attorno ai loro rispettivi pianeti senza che l’attrazione del Sole disturbi significativamente le loro traiettorie mentre questi a loro volta orbitano attorno al Sole. Questo accade perché un qualsiasi oggetto dotato di massa in equilibrio gravitazionale con un corpo più grande può a sua volta esprimere una sfera di influenza che si estende dal proprio centro di massa, chiamata sfera di Hill. La sua espressione matematica deriva dalle equazioni di Newton – e gli studi di Eduard Roche – ma semplificata al massimo  può essere espressa come una sfera di raggio \(r\approx a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}\) dove \(a\) è la distanza tra i due corpi e \(M\) e \(m\) sono le loro masse ed \(e\) l’eccentricità dell’orbita. Tutto ciò che quindi ricade all’interno di questa sfera è gravitazionalmente legato al corpo responsabile. Ad esempio la sfera di Hill della Terra si estende per un milione e mezzo di chilometri mentre la Luna ne è abbondantemente dentro (384 mila km circa) e così via.

Rappresentazione artistica dell'asteroide 1999 KW4.

Rappresentazione artistica dell’asteroide 1999 KW4.

Un curioso caso di sistema multiplo stabile è testimoniato dall’asteroide lunato (66391) 1999 KW4; in questo caso la sua sfera di Hill varia tra i 120 dell’afelio e i 22 km di raggio al suo perielio, mentre il suo satellite dista  solo a 2,6 km dal centro di massa del sistema.

Orbite planetarie nei sistemi multipli

Tornando a parlare di sistemi stellari multipli, nel 1978 Robert S. Harrington del US Naval Observatory analizzò la stabilità di un sistema planetario all’interno di un sistema stellare multiplo (trovate lo studio originale tra le note a fondo pagina). Egli concluse che un pianeta come la Terra attorno al Sole avrebbe posseduto un’orbita stabile purché l’altra componente del sistema fosse stata almeno tre volte e mezzo più lontana. Se al posto di Giove, o anche un poco più vicino, avessimo avuto invece una stella non più massiccia del Sole stesso la nostra orbita non ne sarebbe stata influenzata. E se tale compagna fosse significativamente meno luminosa del Sole, dal punto di vista radiativo non avrebbe potuto avere un ruolo significativo per lo sviluppo della vita sulla Terra; solo che avremmo avuto due soli nel cielo e che per meta dell’anno le notti non sarebbero state molto buie.
Lo stesso varrebbe anche per i sistemi binari stretti, come Capella 3 per intenderci, ma al contrario. Infatti in un sistema siffatto un pianeta per avere un’orbita abbastanza stabile  attorno a una sola delle due dovrebbe essere ben all’interno della spera di Hill di questa, a non più di due decimi di unità astronomiche, meno di due terzi la distanza di Mercurio dal Sole al suo perielio. Tuttavia, un pianeta distante almeno tre volte e mezza la separazione delle due stelle dal comune centro di massa avrebbe un’orbita stabile trattando le due stelle gravitazionalmente come un singolo oggetto a forma di manubrio. In questo caso, nel sistema capellano, un pianeta simile alla Terra potrebbe avere un’orbita stabile a soli 400 milioni di chilometri dal centro di massa; più o meno la distanza che c’è tra Cerere e il Sole.

Conclusioni

Per completare il quadro riferendosi a una ecosfera utile [cite]http://ilpoliedrico.com/2016/07/lampiezza-zona-goldilocks.html[/cite] si può affermare che essa potrebbe esistere in un sistema multiplo se la distanza tra le due stelle di riferimento fosse almeno 3,5 volte questa, oppure, se questa dovesse essere almeno 3,5 volte più lontana da centro del sistema di riferimento precedente.

Alcuni sistemi planetari scoperti attorno a sistemi stellari multipli:

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Allegati:

[fancybox url=”https://ilpoliedrico.com/wp-content/uploads/2016/07/Planetary-orbits-in-binary-stars.pdf” caption=”Planetary orbits in a binary stars”]Planetary orbits in a binary stars [/fancybox]

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Sogno di una notte di mezza estate

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Ho un ricordo piuttosto nebuloso di questo momento, avevo solo 3 anni e francamente allora non ero in grado di capire cosa significasse esattamente.
Negli anni immediatamente successivi, fino all’ultima missione Apollo, la 17 con il comandante E. Cernan, R. Evans e H. Schmitt del dicembre 1972, era stato aperto uno spiraglio per l’Umanità che per colpa della stolta miopia di alcuni uomini fu subito richiuso.
L’idea della Corsa allo Spazio tra Stati Uniti d’America e l’Unione delle Repubbliche Socialiste Sovietiche nacque come sfida militare per dimostrare chi delle due fosse la società tecnologicamente più avanzata. Due modelli sociali completamente opposti che però per un attimo impararono a cooperare nel programma congiunto Skylab, antesignano della moderna – ormai non più – Stazione Spaziale Internazionale.
Mi ricordo che avevo un soldatino di plastica bianco. Non era un soldatino vero e proprio: era un astronautino delle missioni Apollo di quegli anni gloriosi, trovato come gadget in qualche sacchetto di patatine. Lo portavo sempre con me, anche a scuola, prima che lo perdessi. Lo usai anche come modello per un disegno in classe per ricordare proprio l’ultima delle missioni Apollo; avrò disegnato sicuramente uno sgorbietto, non sono mai stato bravo nelle arti manuali, ma mi ricordo che ne ero fiero e che quando mi veniva chiesto rispondevo che da grande sarei diventato astronauta proprio come Schmitt, Armstrong e gli altri. Erano quelli i miei eroi.
Poi però la vita mi ha dato ben altro, non sono diventato astronauta come avevo sognato e neppure astrofisico, eppure non mi sono arreso! Nonostante tutto ho caparbiamente continuato a sognare e a credere nelle mie capacità fino a diventare quello che conoscete.
Ma credetemi quando dico che non cambierei una virgola della mia vita finora trascorsa, anche i miei sbagli e le tante sofferenze – che come tutti – ho dovuto subire. Esse mi hanno plasmato e fatto crescere, mi hanno reso ciò che sono, nel bene e nel male, e di questo ne sono fiero.
Anche per me in quei lontani anni si era aperto uno spiraglio che qualcuno cercò in fretta di richiudere. Intanto però quello spiraglio si era fatto sogno e i sogni non si possono sopprimere, forse solo ritardare e io, pur azzoppato, il mio sogno provo a viverlo anche attraverso queste pagine.

Penso ai tristi momenti di Nizza, di Parigi, di Baghdad, di Beirut e le migliaia di tensioni etniche e religiose nel mondo, di interi popoli oppressi da veri dittatori e schiacciati da false democrazie. E ripenso a quel piccolo passo compiuto da un Uomo su un altro mondo e al grande balzo che avrebbe potuto fare l’Umanità intera negli anni successivi se solo avesse avuto il coraggio di continuare.
Voglio sognare che quel breve spiraglio sia stato solo socchiuso; che quel sogno espresso da Armstrong con le sue parole possa trovare la forza di reagire così come ho fatto io.
Cieli sereni

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Zenone, Olbers e l’energia oscura (terza parte)

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Nei precedenti articoli ho cercato di spiegare che il nostro Universo è in realtà freddo e buio fatto perlopiù di vuoto in perenne espansione. È impossibile che il peso di tutto il suo contenuto possa infine provocarne il collasso, non c’è abbastanza materia e energia (anche l’energia ha la sua importanza: ricordate il rapporto di equivalenza tra massa ed energia \(E=mc^2\)?) per farlo chiudere su sé stesso. Ma se l’idea di un Big Crunch finale, ossia una fine dell’Universo governata da pressioni e temperature inimmaginabili tanto da far impallidire l’Inferno dantesco certamente non è piacevole, l’idea che tutta la già poca materia esistente finisca disgregata in una manciata di fotoni solitari nel nulla del vuoto che corre ancora più veloce della luce è spaventoso; inimmaginabile. Ma tranquillizzatevi, questo accadrà forse fra migliaia di eoni ma intanto il fenomeno che condanna a morte l’Universo potrebbe essere lo stesso che permette oggi la nostra esistenza.

La Hubble Ultra Deep Field (HUDF) è stata ripresa tra il 24 settembre 2003 e il 16 gennaio successivo mostra che stelle e galassie già dominavano l'Universo 13 miliardi di ani fa. Questo campo è circa un decimo della luna piena ma contiene qualcosa come dieci mila galassie! Credit: NASA

La Hubble Ultra Deep Field (HUDF) è stata ripresa tra il 24 settembre 2003 e il 16 gennaio successivo mostra che stelle e galassie già dominavano l’Universo 13 miliardi di ani fa. Questo campo è circa un decimo della luna piena ma contiene qualcosa come dieci mila galassie! Credit: NASA

Cercare di immaginare  la vastità dell’Universo è quasi impossibile e descriverlo senza ricorrere agli artifici matematici lo è ancora di più.
La naturale percezione umana è troppo limitata per descriverlo; essa già fallisce quando cerca di dimostrare la piattezza della Terra che è una sfera 7 milioni di volte più grande di un uomo.
Quindi quando sentiamo parlare di “universo in espansione” è spontaneo chiedersi anche “Entro cosa?“. In realtà non c’è un dentro e un fuori, così come non può esserci un punto di partenza e uno di arrivo in una circonferenza. Idealmente il tessuto dell’Universo, lo spazio-tempo, lo si può far coincidere con l’espansione dello stato di falso vuoto provocato dal decadimento del campo inflatone che chiamiamo Big Bang. Una metafora che uso spesso è quella del panettone che lievita: i canditi sono in quiete fra loro, proprio come lo sono le galassie; è il panettone che gonfiandosi fa crescere la loro distanza relativa.  L’Universo fa altrettanto e come non può esserci panettone fuori dal panettone, non può esserci spazio fuori dallo spazio.

Nel 1917 ancora si dava per scontato che l’Universo nel suo insieme fosse statico e immutabile ma le equazioni di campo derivate dalla Relatività Generale asserivano il contrario. Einstein stesso cercò di conciliare le sue equazioni di campo ad un modello statico di universo introducendo una costante, indicata con la lettera greca \(\Lambda\), capace di contrastare il collasso gravitazionale del contenuto dell’universo assegnandole quindi una natura repulsiva. L’aspetto matematico di questa costante è quello di una densità energetica del vuoto  (\(\rho_\Lambda=\frac{\Lambda c^4}{8\pi G}\)) espresse in unità di energia per unità di volume (\(J/m^3\)). Essendo essa il prodotto di altre costanti fisiche, \(\pi\), \(c\) e \(G\),  una volta indicato il suo valore numerico, esso non varia col tempo, con la dimensione di scala o altre condizioni fisiche: è costante comunque.
In seguito la scoperta dell’espansione dell’universo fece decadere l’ipotesi di una costante repulsiva capace di contrastare il collasso dell’Universo, ma nel 1998 due studi indipendenti, Supernova Cosmology Project [cite]https://arxiv.org/abs/0907.3526[/cite] e il High-Z Supernova Search Team [cite]http://arxiv.org/abs/astro-ph/9805200[/cite], dimostrarono che in realtà l’espansione dell’Universo stava accelerando.
La scoperta ovviamente giungeva inaspettata. L’Universo appariva sì in espansione, frutto del residuo della spinta iniziale dell’era inflazionaria; era anche chiaro come i modelli  cosmologici indicassero – come si è visto – che non c’è abbastanza materia ed energia perché il processo di spinta espansiva potesse infine arrestarsi e invertirsi verso un futuro Big Crunch, ma al più ci si poteva aspettare un minimo cenno di rallentamento nel ritmo verso una espansione illimitata, invece una accelerazione era proprio inattesa. E così che il concetto di una una proprietà repulsiva del vuoto, la famosa costante \(Lambda\) introdotta da Einstein ma poi quasi dimenticata perché  ritenuta inutile, tornò alla ribalta.

Ipotesi cosmologica dell’Energia Oscura, il modello della Costante Cosmologica \(\Lambda\)

Dovessimo descrivere il tessuto dello spaziotempo come un fluido, che non è materia o energia ma come più volte detto esiste energeticamente come uno stato di falso vuoto,  allora la densità energetica descritta da \(\rho_\Lambda\) attribuibile ad esso appare invariante rispetto a qualsiasi stato di materia e di energia che occupa lo spazio. In questo modello \(\rho_\Lambda\) è costante, così come lo era nei microsecondi successivi al Big Bang e lo sarà anche in un incalcolabile futuro.

Uno stato di falso vuoto in un campo scalare \(\varphi\). Si noti che l'energia E è più grande di quella dello stato fondamentale o vero vuoto. Una barriera energetica impedisce il campo di decadere verso lo stato di vero vuoto.L'effetto più immediato di questa barriera è la continua creazione di particelle virtuali tramite fenomeni di tunneling quantistico .

Uno stato di falso vuoto (il pallino) in un campo scalare \(\varphi\). Si noti che l’energia \(E\) è più grande di quella dello stato fondamentale o vero vuoto. Una barriera energetica impedisce il campo di decadere verso lo stato di vero vuoto. L’effetto più immediato di questa barriera è la continua creazione di particelle virtuali tramite fenomeni di tunneling quantistico .

È il Principio di Indeterminazione di Heisenberg che permette all’energia del falso vuoto di manifestarsi tramite la perpetua produzione spontanea di particelle virtuali:. $$\tag{1}\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hslash}{2}$$
Dove \(\Delta x\) indica il grado di indeterminazione della posizione e \(\Delta p\) quello dell’energia posseduta da una particella \(p\) rispetto alla Costante di Planck ridotta \(\hslash\). La stessa relazione lega l’energia \(E\) e il tempo \(t\): $$\tag{2}\Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hslash}{2}$$
Questo significa che per un periodo di tempo brevissimo (questo è strettamente legato all’energia della particella) è possibile violare la ferrea regola della conservazione dell’energia, permettendo così  la formazione di coppie di particelle e antiparticelle virtuali che esistono solo per questo brevissimo lasso di tempo prima di annichilirsi a vicenda 1.
Non solo: i gluoni responsabili dell’Interazione Forte che legano insieme i quark sono particelle virtuali, i bosoni delle interazioni deboli sono virtuali e anche i fotoni che si scambiano gli elettroni all’interno degli atomi sono solo virtuali.
Comprendere come questa energia faccia espandere l’Universo è un attimino più complicato.
Immaginatevi di strizzare un palloncino. L’aria, o il gas, al suo interno si concentrerà così in un volume minore e premerà di conseguenza sulle pareti di gomma con una forza maggiore. L’intensità della pressione è ovviamente data dal numero delle particelle per unità di volume per l’energia cinetica delle particelle stesse ed è chiamata appunto densità energetica. Quando rilasciamo il palloncino, il volume di questo aumenta e le particelle d’aria che facevano pressione su un volume minore si ridistribuiscono allentando così la pressione; si ha così un calo della densità energetica.
Ma se la densità energetica dovesse essere una costante come lo è la densità energetica relativa al falso vuoto, ecco che a maggior volume corrisponderebbe una maggiore pressione sulle pareti del palloncino ideale e, più questo si espande, sempre maggiore sarebbe la spinta espansiva.
Questo è ciò che accade all’Universo: dopo un momento inflattivo iniziale provocato dal collasso del campo inflatone verso uno stato di falso vuoto che ha reso omogeneo (\(\Omega =1\)) l’Universo, la densità energetica residua ha continuato il processo di espansione dell’Universo sino alle dimensioni attuali. All’inizio della sua storia, finché l’Universo era più piccolo e giovane, la densità della materia \(\rho\) è stata abbastanza vicina al valore di densità critica \(\rho_c\), permettendo così che l’azione gravitazionale della materia contrastasse in parte la spinta espansiva; ma abbiamo visto che comunque a maggiore volume corrisponde una maggiore spinta espansiva, e è per questo che la materia ha perso la partita a braccio di ferro con l’energia di falso vuoto fino a ridurre la densità media dell’Universo ai valori attuali. In cambio però tutti i complessi meccanismi che regolano ogni forma di materia e di energia non potrebbero esistere in assenza dell’energia del falso vuoto dell’Universo.
Se il destino ultimo dell’Universo è davvero quello del Big Rip, però è anche quello che oggi permette la nostra esistenza, e di questo dovremmo esserne grati.

Qui ho provato a descrivere l’ipotesi più semplice che cerca di spiegare l’Energia Oscura. Ci sono altre teorie che vanno da una revisione della Gravità su scala cosmologica fino all’introduzione di altre forze assolutamente repulsive come nel caso della Quintessenza (un tipo di energia del vuoto che cambia nel tempo al contrario della \(\Lambda\)). Si sono ipotizzate anche bolle repulsive locali piuttosto che un’unica espansione accelerata universale; un po’ di tutto e forse anche di più, solo il tempo speso nella ricerca può dire quale di questi modelli sia vero.
Però spesso nella vita reale e nella scienza in particolare, vale il Principio del Rasoio di Occam, giusto per tornare dalle parti di dove eravamo partiti in questo lungo cammino. Spesso la spiegazione più semplice è anche la più corretta e in questo caso l’ipotesi della Costante Cosmologica è in assoluto quella che lo è di più.
Cieli Sereni

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L’ampiezza di una zona Goldilocks

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Questo articolo nasce in seno alla preparazione del materiale di studio per lo stage per i finalisti delle Olimpiadi di Astronomia 2016 presso l’INAF-Osservatorio Astrofisico di Asiago due lezioni, tra le tante, dedicate interamente ai pianeti extrasolari. Sabrina Masiero e il sottoscritto hanno studiato e rivisto i calcoli, più volte, perciò fidatevi!

goldilocksOgni volta che sentiamo parlare della scoperta di qualche nuovo pianeta in orbita attorno a qualche stella, viene spontaneo chiederci se esso può ospitare una qualche forma di vita. La vita come la conosciamo ha bisogno di acqua allo stato liquido per poter esistere, e poter stabilire i limiti dove questo è possibile è di notevole importanza. Questa zona è chiamata Goldilocks o Riccioli d’Oro 1 perché ricorda la bambina della favola, Goldilocks appunto, quando deve scegliere tra le tre ciotole di zuppa, quella che non sia né troppo calda né troppo fredda, giusta.
Calcolare le dimensioni e ‘estensione della fascia di abitabilità di una stella ci permette di capire quanto debba essere grande l’orbita di un pianeta per essere potenzialmente in grado di sostenere la vita.
Per comodità di calcolo verranno qui usati i parametri del nostro Sistema Solare ma conoscendo il flusso energetico (ossia la temperatura superficiale) di una qualsiasi stella e il suo raggio, allora sarà possibile usare questi nei calcoli che qui presentiamo purché si usino le stesse unità di misura.

  • Temperatura superficiale del Sole \(T_\odot\) \(5778 \) Kelvin
  • Raggio del Sole in unità astronomiche \(R_\odot\) \(\frac{6,96\times 10^{05} km}{1,496\times 10^{08} km} = 4,652 \times 10^{-03} AU\)
  • Distanza dal Sole in unità astronomiche \(a\)
  • Albedo del pianeta \(A\) (nel caso della Terra è 0,36)
Credit: Il Poliedrico

Credit: Il Poliedrico

Come spiegato anche nell’illustrazione qui accanto il flusso luminoso, e quindi ovviamente anche la temperatura, obbedisce alla semplice legge geometrica dell’inverso del quadrato della distanza.
La luminosità di una stella non è altro che la quantità di energia emessa per unità di tempo e considerando una stella come un corpo nero perfetto, si trova che \(L_\odot= 4 \pi {R_\odot}^2\sigma {T_\odot}^4\), dove \(\sigma\) è la costante di Stefan-Boltzmann.
Pertanto un pianeta di raggio \(R_p\) in orbita alla distanza \(a\) dalla sua stella di raggio \(R_\odot\) riceve una certa quantità di energia che riemette nello spazio come un corpo nero e raggiungendo perciò un equilibrio termico con il flusso di energia ricevuto. $$\frac{\pi {R_p}^2}{4\pi a^2}=\left ( \frac{R_p}{2a} \right )^2\tag{1}$$
Il pianeta offre solo metà di tutta la sua superficie alla stella (\( 2 \pi {R_p}^2\)), per questo si è usato questa forma, perché il flusso intercettato è pari alla sezione trasversale del pianeta (\(\pi {R_p}^2\)), non tutta la sua superficie, mentre invece tutta la superficie del pianeta, quindi anche la parte in ombra, è coinvolta nella riemissione di energia (\( 4 \pi {R_p}^2\)).
Una parte del’energia ricevuta dal pianeta viene riflessa comunque nello spazio in base al suo indice di riflessione (fosse idealmente bianco la rifletterebbe tutta così come se fosse idealmente nero l’assorbirebbe tutta); questo indice si chiama albedo \(A\) e varia di conseguenza tra 1 e 0. La forma “\(1- A\)” consente di stabilire quanta energia è quindi assorbita da un pianeta: $$ (1-A) \times 4 \pi {R_\odot}^2 \sigma {T_\odot}^2\times \left ( \frac{R_p}{2a} \right )^2\tag{2}$$

Semplificando il tutto e eliminando per un attimo anche la superficie della sezione trasversale del pianeta, quasi insignificante come contributo al calcolo, si raggiunge questo risultato: $$ {T_{eq}}^4 =(1-A){T_\odot}^4\left ( \frac{R_\odot}{2a} \right )^2\tag{3}$$ $$T_{eq} =(1-A)^{1/4}{T_\odot}\sqrt{\left ( \frac{R_\odot}{2a} \right )}\tag{4}$$
Se usassimo questi valori per la Terra usando come è stato detto le lunghezze espresse in unità astronomiche otterremo: $$T{eq}= (1-0,36)^{1/4} \cdot 5778 \sqrt{ \left(\frac{4,625 \times 10^{-03}}{2 \cdot 1 }\right )}=249 K\tag{5}$$

Purtroppo non è dato sapere a priori l’albedo di un qualsiasi pianeta, esso varia infatti col tipo e composizione chimica dell’atmosfera e del suolo di un pianeta, per questo può risultare conveniente omettere il computo dell’albedo nel caso di un calcolo generale senza per questo inficiarne nella bontà, un po’ come è stato fatto anche per la superficie del pianeta prima. Così la formula può essere riscritta più semplicemente come $$ T_{eq} ={T_\odot}\sqrt{\left ( \frac{R_\odot}{2a} \right )}\tag{6}$$
Se ora volessimo calcolare entro quale intervallo di distanza dalla stella vogliamo trovare un certo intervallo di temperatura potremmo semplicemente fare l’inverso per aver il risultato espresso in unità astronomiche:$$ a=\frac{1}{2} \left (\frac{T_\odot}{T_{eq}} \right)^{2}R_\odot\tag{7}$$

Diagramma di fase dell'acqua. La possibilità dell'acqua di rimanere allo stato liquido a pressioni molto elevate le consente di svolgere il ruolo di lubrificante delle placche continentali. Fonte dell'immagine: Wikipedia.

Diagramma di fase dell’acqua in ordine alla temperatura e pressione.
Fonte dell’immagine: Wikipedia.

Per trovare un intervallo di temperature compreso tra 240 K e 340 K nel Sistema Solare dovremmo andare tra i 1,35 e 0,67 AU.
Perché ho usato questo strano intervallo di temperature pur sapendo che alla pressione canonica di 1 atmosfera l’acqua esiste allo stato liquido tra i 273 e i 373 K?
Semplice 2! Ogni pianeta possiede una sua atmosfera (ce l’ha anche la Luna anche se questa è del tutto insignificante) che è in grado di assorbire e trattenere calore, è quello che viene chiamato effetto serra. L’atmosfera della Terra ad esempio garantisce a seconda dei modelli presi come riferimento da 15 a 30 e più gradi centigradi di temperatura in più rispetto alla temperatura di equilibrio planetario, consentendo così all’acqua di essere liquida pur restando ai margini superiori della zona Goldilocks del Sole.

Aggiornamento

Non riporterò questo aggiornamento di stato nel sito Tutti Dentro dove questo articolo è uscito in contemporanea a qui. Questa aggiunta è mia e me ne assumo ogni responsabilità verso i lettori per quello che sto per scrivere.

[table id=70 /]

Forse non è stato compreso bene che nonostante il ruolo dell’albedo sia importantissimo nel calcolo esatto per stabilire se una precisa orbita cade all’interno di una zona Goldilocks, esso purtroppo è un dato che non è possibile stabilire per adesso nel caso dei pianeti extrasolari. Si possono considerare un ampio spettro di possibilità, diciamo tra un albedo di 0,99 e 0,01, indicare un valore medio tra questi due oppure scegliere tra uno de valori che sono suggeriti in questa tabella o oppure ancora si può scegliere di non usare affatto l’indice albedo in questa fase di calcolo, come ho fatto deliberatamente io in questa fase. Dopotutto si deve stabilire un discreto intervallo di possibili orbite di un pianeta di massa non bene definita su un ampio intervallo di possibili temperature di equilibrio attorno ad una stella lontana.
Prendiamo ad esempio il Sistema Solare visto da una manciata di parsec e si supponga fosse stato possibile identificare sia Venere che la Terra, di conoscere la loro distanza e il loro  albedo.
Applicando l’equazione sprovvista del computo dell’albedo qui sopra (\(\frac{1}{2} \left (\frac{T_\odot}{T_{eq}} \right)^{2}R_\odot\)) , essa restituisce una temperatura di equilibrio, che per Venere sappiamo essere di  253 kelvin, di 327  K, ma che corretta per l’albedo, ossia: $$ a=\frac{1}{2} \left (\frac{T_\odot}{T_{eq}} \right)^{2} R_\odot \sqrt{1-A}$$ dà esattamente il valore corretto. Un errore del 29% in più ma che per albedo inferiori tende quasi ad annullarsi.
Un altro metodo che era stato proposto e fatto passare come l’unico valido $$ a=\frac{\sqrt{1-A}}{2} R_\odot \left (\frac{T_\odot}{T_{eq}}\right)^2 $$ sembra esattamente equivalente allo stesso metodo corretto per l’albedo qui suggerito (\(\frac{1}{2} \left (\frac{T_\odot}{T_{eq}} \right)^{2} R_\odot \sqrt{1-A}\)), ma si dimostra essere del tutto fallace se usato senza tenere conto dell’albedo; con lo stesso esempio precedente si arriva a definire la temperatura di equilibrio di Venere a 462 K, l’83% in più.

Sono piccolezze, è vero, e di solito non amo polemizzare – anche se qualcuno potrebbe pensare il contrario – e ammetto che non sono un gran genio nella matematica, di solito faccio dei casini enormi nelle semplificazioni (ma non in questo caso). Ma amo sperimentare, rifare i calcoli decine di volte prima di scriverli e pubblicarli, per cui quando lo faccio so che sono corretti e testati decine di volte come in questo caso.
Ho scelto di offrire il mio modesto aiuto a una cara amica per questo appuntamento e scoprire che presuntuosamente veniva affermato che questo lavoro era sostanzialmente errato non l’ho proprio digerito. Con questo  stupido esempio ho voluto mostrare la bontà di questo lavoro  che consente a scapito di un lieve margine di errore di poter essere usato anche senza tener conto dell’albedo di un pianeta; ho scelto Venere perché avendo l’albedo più elevata era quello che più avrebbe messo in difficoltà il procedimento descritto in questo articolo (se avessi usato la Terra avrei avuto un 12% a fronte di 58%).
Quindi il mio invito è quello di non raccattare formule a caso qua e là sulle pubblicazioni più disparate e spacciarle per buone senza averle prima provate, smembrate e ricomposte; qui l’errore è evidente, non serve molto per vederlo. Potreste dire poi delle castronerie che prima o poi si rivelano per quel che sono: ciarpame.